题意:有一个无限行$n$列的数表$a_{i,j}$,对于第$i\geq2$行,$a_{i,j}$为$a_{i-1,j}$在$a_{i-1,1\cdots j}$中出现的次数,要维护这个数表,支持修改第一行,查询任意位置
这题挺神的...首先随机一些数据,打个表可以发现这个数表的第$2,4,6,\cdots$行都是一样的,并且$3,5,7,\cdots$行也是一样的,下面写一个来自zjt的证明(%%%)
假设对数列$a_{1\cdots n}$有变换$f(a)$:将每一个$a_i$替换成它在$a_{1\cdots i}$中出现的次数,要证$f(a)=f(f(f(a)))$
先考虑$f(a)$,因为是统计出现次数,所以它肯定是由一堆$1,2,3,\cdots$穿插而成,我们可以每次贪心地从前往后取出最长的$1,2,3,\cdots$,把每次取出来的数字分为一组
再考虑$f(f(a))$,可以看出$f(a)$的第$i$组在$f(f(a))$中全部变成了$i$
最后考虑$f(f(f(a)))$,对于所有数字$i$,它们变成了$1,2,3,\cdots$,刚好和$f(a)$一一对应
所以对于本题,我们只需要知道第$1,2,3$行分别是什么就可以了
考虑分块,$f_{i,j}$表示在$a_{1}$的前$i$块中,$j$出现的次数,$g_{i,j}$表示在$a_2$的前$i$块中,$j$出现的次数
先预处理,$f_{i,\cdots}$可以由$f_{i-1,\cdots}$和$a_{1,1\cdots n}$得到,$g_{i,\cdots}$可以由$g_{i-1,\cdots}$和$f_{i-1,\cdots}$得到
修改$a_{1,p}=v$就先在对应块中减去$a_{1,p}$,再加回$v$即可
询问$a_{x,y}$就找到最靠近$y$的块,把零散的信息加进去即可
然后就做完了,出题人真是太神啦orz
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